название формулы, выражающей любую целую положительную степень суммы двух слагаемых (бинома, двучлена) через степени этих слагаемых, а именно:

(1)

(1) где n - целое положительное число, а и b - какие угодно числа.

Частными случаями Н. б. при n = 2 и n = 3 являются известные формулы для квадрата и куба суммы а и b: (а + b)² = а² + 2ab + b², (а + b)³ = а³ + 3a²b + 3ab² + b³; при n = 4 получают (а + b)⁴ = a⁴+ 4a³b + 6a²b² + 4ab³ + b⁴ и т.д.

Коэффициенты формулы (или разложения) Н. б. называют биномиальными коэффициентами; коэффициент при a^n-kb^k обозначается так: или C_n^k. Последнее обозначение связано с комбинаторикой (См. Комбинаторика): C_n^kесть число сочетаний из n различных между собой элементов, взятых по k. Биномиальные коэффициенты обладают многими замечательными свойствами: все они целые положительные числа; крайние коэффициенты равны единице; коэффициенты членов, равноотстоящих от концов, одинаковы; коэффициенты возрастают от краев к середине; сумма всех коэффициентов равна 2ⁿ. Особенно важное значение имеет следующее свойство: сумма двух соседних коэффициентов в разложении (а + b) ⁿ равна определённому коэффициенту в разложении (а + b) ⁿ⁺¹; например, суммы 1+3, 3+3, 3+1 соседних коэффициентов в формуле для (а + b)³ дают коэффициенты 4, 6 и 4 в формуле для (а + b)⁴. Вообще:

Пользуясь этим свойством, можно, отправляясь от известных коэффициентов для (а + b)1, получить путём сложения биномиальные коэффициенты для любого n. Выкладки располагают в виде таблицы (см. Арифметический треугольник).

Формула Н. б. для целых положительных показателей была известна задолго до И. Ньютона (См. Ньютона бином); но им была указана (1676) возможность распространения этого разложения и на случай дробного или отрицательного показателя (хотя строгое обоснование этого было дано лишь Н. Абелем (См. Абель), 1826). В этом более общем случае формула Н. б. начинается так же, как формула (1); коэффициентом при a^n-kb^k служит выражение , которое, в случае целого положительного п, обращается в нуль при всяком k > п, вследствие чего формула (1) содержит лишь конечное число членов. В случае же дробного или отрицательного n все биномиальные коэффициенты отличны от нуля, и правая часть формулы содержит бесконечный ряд членов (биномиальный ряд). Если |b| < |а|, то этот ряд сходится, т. е., взяв достаточно большое число его членов, можно получить величину, сколь угодно близкую к (а + b) ⁿ (см. Ряд). Формула Н. б. играет важную роль во многих областях математики (алгебре, теории чисел и др.).

название формулы, позволяющей выписывать разложение алгебраической суммы двух слагаемых произвольной степени. Впервые была предложена Ньютоном в 1664-1665:

Коэффициенты формулы называются биномиальными коэффициентами. Если n - положительное целое число, то коэффициенты обращаются в нуль при любом r n, поэтому разложение содержит лишь конечное число членов. Во всех остальных случаях разложение представляет собой бесконечный (биномиальный) ряд. (Условия сходимости биномиального ряда впервые были установлены в начале 19 в. Н.Абелем.) Такие частные случаи, как (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 и (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 были известны задолго до Ньютона. См. также АЛГЕБРА; ВЕРОЯТНОСТЕЙ ТЕОРИЯ; РЯДЫ.

интерференционные Полосы равной толщины в форме колец, расположенные концентрически вокруг точки касания двух поверхностей (двух сфер, плоскости и сферы и т.д.). Впервые описаны в 1675 И. Ньютоном. Интерференция света происходит в тонком зазоре (обычно воздушном), разделяющем соприкасающиеся тела; этот зазор играет роль тонкой плёнки, см. Оптика тонких слоев (См. Оптика тонких слоёв). Н. к. наблюдаются и в проходящем и - более отчётливо - в отражённом свете. При освещении монохроматическим светом (См. Монохроматический свет) длины волны Л, Н. к. представляют собой чередующиеся тёмные и светлые полосы. Светлые возникают в местах, где зазор вносит Разность хода между прямым и дважды отражённым лучом (в проходящем свете) или между лучами, отражёнными от обеих соприкасающихся поверхностей (в отражённом свете), равную целому числу λ. Тёмные кольца образуются там, где разность хода лучей равна целому нечётному числу ^λ/₂. Разность хода определяется оптической длиной пути (См. Оптическая длина пути) луча в зазоре и изменением фазы световой волны при отражении (см. Отражение света). Так, при отражении от границы воздух - стекло фаза меняется на π, а при отражении от границы стекло - воздух остаётся неизменной. Поэтому в случае двух стеклянных поверхностей т-е тёмное Н. к. в отражённом свете соответствует разности хода mλ (т. е. толщине зазора d_m = mλ/2), где m - целое число. При касании сферы и плоскости (рис. 1) r_m = (mλR)^1/2. По теореме Пифагора, для треугольников с катетами r_п и r_m R² = (R - λm/2)² + r_n² и R² = (R - λm/2)² + r²_m, откуда следует - в пренебрежении очень малыми членами (mλ/2)² и (nλ/2)² и др.- часто используемая формула для Н. к.: R = (r_n² - r²_m)/λ(n - m). Эти соотношения позволяют с хорошей точностью определять λ по измеренным r_m и r_п либо, если λ известна, измерять радиусы поверхностей линз (рис. 2). Н. к. используются также для контроля правильности формы сферических и плоских поверхностей (рис. 3). При освещении немонохроматическим (например, белым) светом Н. к. становятся цветными, причём чередование цветов в них существенно отличается от обычного радужного из-за переналожения систем колец, соответствующих разным т. Наиболее отчётливо Н. к. наблюдаются при использовании сферических поверхностей малых радиусов кривизны (толщина зазора мала на большем расстоянии от точки касания).

Лит.: Шишловский А. А., Прикладная физическая оптика, М., 1961; Дитчберн Р., Физическая оптика, пер. с англ., М., 1965.

А. П. Гагарин.

Рис. 1. К выводу соотношения между радиусами r_m колец Ньютона в отражённом свете, радиусом R сферической линзы и длиной волны λ освещающего монохроматического света. О - точка касания сферы и плоскости; АА' = δ_m - толщина воздушного зазора в области образования m-го тёмного кольца. Применяя теорему Пифагора к прямоугольному треугольнику, малый катет (равный r_m) которого составляет перпендикуляр, опущенный из A' на СО, получим r_m = R² - (R - δ_m)² ≈ 2Rδ_m, откуда условие δ_m = λ_m/2 даёт .

Рис. 2. Фотография колец Ньютона в отражённом свете.

Рис. 3. Кольца Ньютона, полученные с посеребрёнными поверхностями. Извилины полос выявляют дефекты поверхностей.

метод приближённого нахождения корня x₀ уравнения f (x) = 0, называемый также методом касательных. Н. м. состоит в том, что по исходному ("первому") приближению х = a₁ находят второе (более точное), проводя касательную к графику (см. рис.) у = f (x) в точке А [а₁ f (a₁)] до её пересечения с осью Ox; точка пересечения х = a₁ - f (a₁)/f'(a₁) и принимается за новое значение a₂. корня. Повторяя в случае необходимости этот процесс, получают всё более и более точные приближения a₂, a₃,... корня x₀ при условии, что производная f'(x) монотонна и сохраняет знак на сегменте, содержащем x₀. Ошибка ε₂ = x₀ -a₂ нового значения a₂ связана со старой ошибкой ε₁ = x₀ - a₁ формулой , где - значение второй производной функции f (x) в некоторой точке x, лежащей между x₀ и a₁. Иногда рекомендуется Н. м. применять одновременно с к.-л. другим способом, например с Линейного интерполирования методом. Н. м. допускает обобщения, которые позволяют применять его для решения уравнений F (x) = 0 в нормированных пространствах (F- оператор в этом пространстве), в частности для решения систем уравнений и функциональных уравнений. Метод разработан И. Ньютоном в 1669.

Рис. к ст. Ньютона метод.